Inraggio

In geometria, l'inraggio è il nome dato nel triangolo al raggio dell'incerchio, ma può essere usato analogamente anche per indicare l'omologo in qualsiasi altro poligono avente circonferenza inscritta; corrisponde però al concetto di apotema nei casi di poligoni regolari.

Per le sue particolarità, moltiplicando l'inraggio per il semiperimetro p si ottiene il valore dell'area del triangolo.

Proprietà

Dato un triangolo ABC si traccino le sue bisettrici fino al reciproco congiungimento, determinando così l'incentro I e l'inraggio r della circonferenza inscritta.
Il raggio tocca i lati del triangolo nei punti di tangenza, formando con essi angoli retti, per cui r può essere considerato l'altezza dei tre triangoli IAB, IBC e IAC rispettivamente di aree:

${\displaystyle S_{c}=r\cdot AB/2}$

${\displaystyle S_{a}=r\cdot BC/2}$

${\displaystyle S_{b}=r\cdot CA/2}$

Dunque l'area S del triangolo ABC sarà pari alla loro somma:

${\displaystyle S=S_{a} S_{b} S_{c}=r\cdot (AB BC CA)/2}$

da cui:

${\displaystyle S=r\cdot p}$

ove ${\displaystyle p}$ è il semiperimetro.

Formule geometriche

Dalla formula di Erone ricaviamo che

${\displaystyle \mathrm {S} ={\sqrt {p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}}}$

ma allora, per la relazione precedentemente trovata, abbiamo che

${\displaystyle r={\frac {S}{p}}={\sqrt {\frac {(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}}}$

Formule trigonometriche

${\displaystyle r=(p-a)\tan {\frac {\alpha }{2}}=(p-b)\tan {\frac {\beta }{2}}=(p-c)\tan {\frac {\gamma }{2}}}$

Voci correlate

• Incentro
• Incerchio
• Teorema giapponese

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Inradius, su MathWorld, Wolfram Research.